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立体几何重在建立空间概念

来源:未知     时间:2013-08-29 10:27

立体几何是高中数学中比较容易的一部分,高考中所占分值在20分以上,拿分应该不成问题。东营一对一辅导总结了从目前复习情况来看,一部分考生学不好的原因大致有三个:一是基础知识不牢固;二是没有建立立体感和空间概念;三是表述不规范。

勤看课本多积累

重视课本作用。立体几何课本中的例题、习题除了具有紧扣教材、难度适中、方法典型等特点外,还有不少定理是以例题或习题形式出现的,所以要使用好课本,熟悉课本。归纳常用方法,如证明若干点共线的基本方法是证明这些点是某两个面的公共点,又如求异面直线所成角,总是先平移成交角,而平移往往用三角形中位线或平行四边形的性质,再如找二面角的平面角时,常用三垂线定理或其逆定理。

要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式,要及时不断地复习前面学过的内容。这是因为《立体几何》的内容前后联系紧密,前面内容是后面内容的根据,后面内容既巩固了前面的内容,又发展和推广了前面内容。要学会用图(画图、分解图、变换图)帮助解决问题;要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法———分析法、综合法、反证法。

多积累。注意平面几何和立体几何概念的区别与联系,如:空间的垂直未必相交;正三棱锥不仅要底面是正三角形,还要顶点在底面上的射影是底面三角形的中心;三棱锥顶点在底面上的射影是底面三角形的外心、内心、垂心的条件各是什么等问题。记住一些特殊图形的线面关系和有关量。如:正方体中对角线与侧面对角线异面时,它们互相垂直;正四面体相对棱相互垂直;直角四面体的三个侧面面积的平方和等于底面面积的平方等等;若能记住它,将提高解题速度,并且使考生对问题的理解更加快捷。

提高空间想像力

从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃,要有一个过程。有的同学自制一些空间几何模型并反复观察,这有益于建立空间观念,是个好办法。有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩,并且判断其中的线线、线面、面面位置关系,探索各种角、各种垂线作法,这对于建立空间观念也是好方法。

建立空间观念要做到:

重视看图能力的培养:对于一个几何体,可从不同的角度去观察,可以是俯视、仰视、侧视、斜视,体会不同的感觉,以开拓空间视野,培养空间感。

加强画图能力的培养:掌握基本图形的画法;如异面直线的几种画法、二面角的几种画法等等;对线面的位置关系,所成的角,所有的定理、公理都要画出其图形,而且要画出具有较强的立体感,除此之外,还要体会到用语言叙述的图形,画哪一个面在水平面上,产生的视觉完全不同,往往从一个方向上看不清的图形,从另方向上可能一目了然。

加强认图能力的培养:对立体几何题,既要由复杂的几何图形体看出基本图形,如点、线、面的位置关系;又要从点、线、面的位置关系想到复杂的几何图形,既要看到所画出的图形,又要想到未画出的部分。能实现这一些,可使有些问题一眼看穿。

此外,多用图表示概念和定理,多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”,对于建立空间观念也是很有帮助的。

表述书写规范化

高考中还十分重视解题过程表述的正确与严谨。同学们对“作”、“证”、“算”三个环节往往头轻脚重,对图形构成交代不清楚,造成逻辑上错误,对需要严格论证的往往没有表达出来,只算结果。这些在复习中都应该引起注意。在传统的逻辑推理方法中的基本步骤是:“一作(作辅助线),二证明(如证明直线与平面所成的角),三求(求解角或距离等)”;在用向量代数法时,必须按照“一建系(建立空间直角坐标系),二求点的坐标,三求向量的坐标,四运用向量公式求解”;如在证明线面垂直时,证明线线垂直时,容易只证明与平面内一条直线垂直就下结论,这里应强调证明两条相交直线,缺一不可;用空间向量解决问题时,需要建立坐标系,一定要说清楚;用三垂线定理作二面角的平面角时,一定得点明斜线在平面上射影;书写解题过程的最后都必须写结题语。在解题中,要书写规范,如用平行四边形ABCD表示平面时,可以写成平面AC,但不可以把平面两字省略掉;要写出解题根据,不论对于计算题还是证明题都应该如此,不能想当然或全凭直观;对于文字证明题,要写已知和求证,要画图;用定理时,必须把题目满足定理的条件逐一交代清楚,自己心中有数而不把它写出来是不行的。

培养两种意识

特殊化意识。许多线面关系的问题要特别注意它们的特殊位置关系,在一些计算问题中,一般位置(图形)和特殊位置(图形)的答案是不变的,从特殊中寻找快捷的解题思路。要培养这种意识,以提高解题速度。有时,由特殊图形的关系可引出一般在关系。

运动的观点。平移不改变角的大小,在立体几何中,所有角的求解都可做平行线(平移)来解决,这样可将不相交的线的夹角转化为相交线的夹角;直线不能移动,但其方向向量可以按需要任意平移。(记者:马利)